Herleitung der Einstein-Gleichungen verbindet Gravitation und Quanteninformation

Einstein neu gelesen: Zwei Physiker haben eine semiklassische Form seiner Gravitationsgleichungen aus einer Größe der Quanteninformation hergeleitet. Entscheidend ist, wie gut sich ein angeregter Quantenzustand vom Vakuum unterscheiden lässt. Allerdings benötigt die Rechnung eine zusätzliche Annahme über die Entropie von Horizonten und gilt bislang nur für einen vereinfachten Fall.

Sharjah (Vereinigte Arabische Emirate). Warum zieht Materie andere Materie an? Nach Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie krümmen Masse und Energie die Raumzeit. Die Quantentheorie beschreibt dagegen die Eigenschaften der Materie im Kleinsten. Wie beide Beschreibungen letztlich zusammenpassen und ob auch die Schwerkraft quantenphysikalischen Ursprung hat, ist weiter offen.

Eine mögliche Brücke bildet die Entropie, die in der Physik mit der Verteilung von Energie und Information zusammenhängt. Schon 1995 zeigte der Physiker Ted Jacobson, dass sich Einsteins Gleichungen aus thermodynamischen Beziehungen und den Eigenschaften von Horizonten ableiten lassen. Solche Grenzen trennen Bereiche der Raumzeit, zwischen denen nicht beliebig Informationen ausgetauscht werden können. Doch die damalige Herleitung verwendete noch klassische Begriffe von Wärme und Entropie.

Forscher der Universität Leipzig um Philipp Dorau haben diesen Ansatz nun in die Sprache der Quantenfeldtheorie übertragen. Ihr Ziel war es, den Zusammenhang zwischen Information und Gravitation mit mathematisch genau definierten Größen zu beschreiben. Das Resultat ist eine Herleitung der semiklassischen Einstein-Gleichungen, in denen die Raumzeit klassisch bleibt, ihre Krümmung aber von quantenphysikalisch beschriebener Materie abhängt.

Wie verschieden sind zwei Quantenzustände?

Der Schlüssel heißt relative Quantenentropie. Anders als der gewöhnliche Entropiebegriff beschreibt sie, wie gut sich zwei Quantenzustände voneinander unterscheiden lassen. Sie ist auch dort mathematisch wohldefiniert, wo herkömmliche Entropieberechnungen für lokal begrenzte Quantenfelder auf Schwierigkeiten stoßen. Damit eignet sie sich für die Frage, welche Information eine Anregung eines Quantenfeldes gegenüber dem leeren Raum zusätzlich enthält.

Dazu betrachtete das Team ein sogenanntes skalares Quantenfeld zunächst im Vakuum und dann mit einer geordneten, kohärenten Anregung. Untersucht wurden beide Zustände an einem lokalen Rindler-Horizont. Diese Grenze entsteht aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters und ist damit ein vereinfachtes Modell für die Physik an Raumzeit-Horizonten.

Die mathematische Analyse zeigt, dass sich die relative Entropie dieser Zustände durch den Energiefluss am Horizont ausdrücken lässt. Sie liefert damit die quantentheoretische Größe, die in der älteren thermodynamischen Herleitung noch als Wärmefluss eingeführt worden war. Gerade diese präzise Zuordnung ist der neue Schritt.

„Unsere Herleitung verwendet mathematisch strenge und klar definierte Größen und ersetzt damit frühere eher anschauliche Argumente“, erklärt Dr. Albert Much von der University of Sharjah (UoS).

Wann folgen daraus Einsteins Gleichungen?

Nun kommt eine zusätzliche Voraussetzung ins Spiel: Nach der Bekenstein-Hawking-Beziehung hängt die Entropie eines Horizonts von seiner Fläche ab. Übertragen die Forscher diese bekannte Beziehung auf die betrachtete Änderung der relativen Entropie, verknüpfen sie den Energiefluss mit einer Veränderung der Horizontfläche. Mithilfe geometrischer Gleichungen ergibt sich daraus die semiklassische Form von Einsteins Feldgleichungen.

Diese Gleichungen beschreiben, wie sich Raumzeit unter dem Einfluss von Quantenmaterie krümmt. Sie entstehen in der Rechnung nicht als frei eingesetzte Ausgangsgleichungen. Allerdings wird die entscheidende Beziehung zwischen Entropie und Fläche vorausgesetzt. Die Studie zeigt daher einen nachvollziehbaren Zusammenhang zwischen Quanteninformation und Gravitation, keine Herleitung der Schwerkraft ausschließlich aus Information.

„Erst jüngste Fortschritte beim Verständnis der relativen Entropie lieferten uns das fehlende Bindeglied zwischen Quanteninformation, Thermodynamik und Gravitation“, erklärt Philipp Dorau.

Der entscheidende Schritt fehlt noch

Die Herleitung ist eine theoretische Arbeit und beruht nicht auf neuen Messungen. Zudem gilt sie zunächst für eine spezielle Klasse kohärenter Zustände eines freien Skalarfeldes. Die Raumzeit wird nur in sehr kleinen Bereichen näherungsweise als flach behandelt, und die Rechnung erfasst die führende Ordnung dieser Näherung. Allgemeinere Quantenzustände und zusätzliche geometrische Korrekturen sind noch nicht durchgerechnet.

„Eine vollständig strenge Behandlung würde die Kontrolle von Korrekturen höherer Ordnung erfordern, etwa mithilfe riemannscher Normalkoordinaten“, halten Philipp Dorau und Albert Much in ihrer Originalstudie fest.

Vor allem bleibt die Gravitation selbst in dem Modell klassisch. Eine vollständige Quantentheorie der Schwerkraft, die auch die Raumzeit quantisiert, ist damit noch nicht gefunden. Dennoch könnte die neue mathematische Verbindung helfen, künftige Ansätze zur Quantengravitation zu prüfen: Sie müssten erklären können, weshalb auf großen Skalen Einsteins bekannte Gleichungen erscheinen.

Quellen:

Originalstudie im Fachmagazin Physical Review Letters, doi: 10.1103/lmq8-nsty

13. Oktober 2026 - Clara Lyu

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