OpenAI knackt offenbar das Navier

Der letzte Baustein fehlte also noch – und den scheint nun ein Team bei OpenAI gefunden zu haben. Dass sich OpenAI jedoch für den gleichen, wenig populären Ansatz wie Alpöge und Buckmaster entschied, machte die beiden Mathematiker hellhörig. Könnte es sein, dass sich OpenAI an Alpöges und Buckmasters Daten bedient hatte? In einer Pressekonferenz, die am Dienstagabend (deutsche Zeit) stattfand, dementierte die Tech-Firma OpenAI solche Anschuldigungen.

In einem Statement, das seine und Alpöges Forschungsarbeiten begleitet, schildert Buckmaster die sich überschlagenden Ereignisse der vergangenen Tage aus seiner Sicht. Insbesondere ein Mitarbeiter von OpenAI kommt dabei nicht besonders gut weg.

Explodierende Flüssigkeiten

Die Navier-Stokes-Gleichungen gehören zu den wichtigsten Rätseln der Mathematik. Sie beschreiben, wie sich Gase und Flüssigkeiten mit der Zeit verhalten. Das Millennium-Problem dreht sich um die Frage, ob es Situationen gibt, in denen die Gleichungen unendliche Größen hervorbringen – etwa eine unendlich schnelle Fließgeschwindigkeit an einem Punkt. In den vergangenen Jahren gab es immer wieder Fortschritte auf dem Gebiet, unter anderem dank verschiedener KI‑Systeme. Insbesondere versuchen Fachleute, Situationen zu modellieren, in denen die Gleichungen solche Unendlichkeiten hervorbringen. Bislang gelang dies jedoch nur für vereinfachte Modelle – und nicht für die vollen Navier-Stokes-Gleichungen selbst.

Sieben hartnäckige Rätsel

Am 24. Mai 2000 veröffentlichte das Clay Mathematics Institute eine Liste mit sieben mathematischen Problemen, deren Lösung es mit einer Million US-Dollar belohnt. Selbst nach einem Vierteljahrhundert sind sie ungelöst geblieben – bis auf eines.

2002 gelang es dem russischen Mathematiker Grigori Perelman, die Poincaré-Vermutung zu beweisen. Über die Fachwelt hinaus erstaunte jedoch seine darauf folgende Reaktion: Der Eigenbrötler lehnte das Preisgeld ab, genauso wie die ihm dafür verliehene Fields-Medaille, eine der größten Auszeichnungen der Mathematik.

Das wohl bekannteste der noch offenen Millennium-Probleme ist die riemannsche Vermutung, aus der unter anderem folgen würde, wie sich die Primzahlen auf dem Zahlenstrahl verteilen. An dieser etwa 160 Jahre alten Aufgabe haben sich bereits etliche Experten und Laien versucht, doch bisher sind alle Anläufe gescheitert.

Die Vermutung von Birch und Swinnerton-Dyer ist weniger verbreitet. Sie handelt von den Eigenschaften einer wichtigen Art von mathematischen Funktionen. Die so genannten elliptischen Funktionen ermöglichten es beispielsweise Andrew Wiles in den 1990er Jahren, Fermats letzten Satz zu beweisen.

Ein weiteres eher unbekanntes Problem ist die Hodge-Vermutung. Ähnlich wie die Poincaré-Vermutung beschäftigt sie sich mit dem Ordnen von geometrischen Figuren und fällt damit in den Bereich der Topologie.

Zwei der Millennium-Probleme hängen eng mit der Physik zusammen. Das eine dreht sich um Flüssigkeiten und Turbulenzen, die durch die so genannten Navier-Stokes-Gleichungen beschrieben werden. Das zweite handelt von den Grundbausteinen der Materie, den Quarks, und ihren Wechselwirkungen untereinander, welche die Yang-Mills-Theorie erklärt.

Schließlich lautet beim P-NP-Problem aus der theoretischen Informatik die Frage: Gibt es für bestimmte Probleme keine effizienten Algorithmen, oder kennen wir sie einfach nur noch nicht?

Eine der Personen, die in der Vergangenheit wichtige Beiträge zu diesem Thema geliefert hatte, ist Tristan Buckmaster. In seinem am 8. September 2026 veröffentlichten Statement erklärt er, dass er sich ein Jahr zuvor mit dem Mathematiker Levent Alpöge zusammengetan habe, um an diesem Problem weiterzuarbeiten. Er betont, dass die Zusammenarbeit auf privater Ebene stattfand und unabhängig von dessen Arbeitgeber Anthropic verlief.

Buckmaster und Alpöge nutzten hierfür einen Ansatz, den die Mathematiker Diego Córdoba und Luis Martínez-Zoroa im Jahr 2024 entwickelt hatten. Diese nutzten eine als exotisch angesehene Methode namens »Forcing«, bei der man die Fluidgleichungen mit einem äußeren Kraftterm versieht. Indem sich Córdoba und Martínez-Zoroa dabei iterativ auf immer kleinere Skalen fokussierten, konnten sie Instabilitäten und explodierende Werte beobachten. Doch auch das gelang ihnen bloß für vereinfachte Varianten der Fluidgleichungen – und nicht für den vollen Navier-Stokes-Fall. »Angesichts dieses Gesamtwerks bin ich der Meinung, dass Luis Martínez-Zoroa eine Fields-Medaille verdient«, schreibt Buckmaster in seinem Statement.

Er und Alpöge haben im vergangenen Jahr die Arbeiten von Córdoba und Martínez-Zoroa weiterentwickelt und griffen dabei auf neueste KI-Sprachmodelle zurück, unter anderem auf Claude von Anthropic, aber auch auf Konkurrenzprodukte von OpenAI wie Codex und GPT-5.6 Sol.

Mitte August 2026, nach fast einem Jahr starker Bemühungen, hatten Buckmaster und Alpöge erstaunliche Fortschritte erreicht, bei denen sie für drei verschiedene Vereinfachungen der Navier-Stokes-Gleichungen unendliche Lösungen produzieren konnten: die Gleichung für inkompressible poröse Medien (IPM), die zweidimensionale Boussinesq-Gleichung und die dreidimensionalen inkompressiblen Euler-Gleichungen. Das Besondere: Es schien, als ließe sich die genutzte Strategie auf die Navier-Stokes-Gleichungen übertragen. Damit rückte die Lösung des Millennium-Problems in greifbare Nähe.

Die Navier-Stokes-Gleichungen

In der Strömungsmechanik spielen die Navier-Stokes-Gleichungen eine zentrale Rolle. Sie beschreiben das Verhalten von Fluiden und besitzen folgende Form: ρ(Dv→Dt)=−∇p+μ(∇⋅∇)v→+(λ+μ3)∇(∇⋅v→).

Nicht zurückschrecken! Die Gleichungen sind kompliziert, lassen sich aber veranschaulichen.

Zunächst bestehen die Gleichungen eigentlich aus drei – eine für jede Raumrichtung. In ihnen findet man, ebenfalls für jede räumliche Komponente, die Geschwindigkeit des Fluids v→, dessen Druck p sowie dessen Dichte ρ (griechisch r, ausgesprochen als »rho«).

Dazwischen stehen die Materialparameter λ (griechisch l, ausgesprochen als »lambda«) und μ (griechisch m, ausgesprochen als »mü«). Sie drücken durch Zahlenwerte die Viskosität des Fluids aus, also seine Zähflüssigkeit.

Um die Bewegung des Fluids analytisch zu beschreiben, braucht man sogenannte Differenzialoperatoren. Zum einen DDt als die absolute Ableitung nach der Zeit, zum anderen ∇ (ausgesprochen als »nabla«), welches die räumlichen Ableitungen beinhaltet. Die mathematischen Ableitungen wirken auf Geschwindigkeit, Druck und Dichte und legen damit fest, wie diese sich durch den Raum und über die Zeit verändern.

Die Kontinuitätsgleichung

Die drei Navier-Stokes-Gleichungen besitzen fünf Unbekannte (die drei Geschwindigkeiten sowie Druck und Dichte). Um sie lösen zu können, braucht man somit weitere Gleichungen. Eine davon ist die Kontinuitätsgleichung, ∂tρ=∇⋅(ρv→). Ihre Grundlage ist die physikalische Überlegung, dass die Partikelbewegung des Fluids mit sich selbst konsistent sein muss: Wie die Fluiddichte sich zeitlich verändert (links), entspricht ihrem Stromfluss durch den Raum (rechts).

Die inkompressiblen Gleichungen

Um die Berechnungen zu erleichtern, wird das Fluid häufig als »inkompressibel« angenommen. Physikalisch gesehen dehnt es sich dadurch nicht aus und wird nicht zusammengedrückt; mathematisch betrachtet schreibt sich das als ∂tρ=0. Die Dichte selbst verändert sich somit mit der Zeit nicht.

Die rechte Seite der Kontinuitätsgleichung wird dann ebenfalls gleich null: ∇⋅v→=0.

Dadurch vereinfachen sich die Navier-Stokes-Gleichungen zu ρ(Dv→Dt)=−∇p+μ(∇⋅∇)v→.

Die letzten beiden Gleichungen bilden die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Zusammenhang mit der newtonschen Mechanik

Die Navier-Stokes-Gleichungen verkörpern in komplizierter Form das newtonsche Gesetz F→=ma→. Dieses besagt, dass die Kraft eines Körpers F→ gleich der Beschleunigung seiner Masse ma→ ist.

Auf der linken Seite der Navier-Stokes-Gleichungen steht die Dichte mal der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit. Da die Dichte gleich der Masse pro Volumen ist, ρ=mV, und die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit gleich der Beschleunigung, Dv→Dt=a→, verkörpert die linke Seite Masse mal Beschleunigung.

Auf der rechten Seite steht die resultierende Kraft in Form der inneren Kräfte des Fluids. Sie entstehen aufgrund der unterschiedlichen Beschleunigungen seiner Dichte.

ρ(Dv→Dt)=−∇p+μ(∇⋅∇)v→⏟ma→=F→.

Die beiden Mathematiker widmeten sich daraufhin der Ausarbeitung der Ergebnisse; denn die von den KI-Modellen gelieferten Ausgaben seien teilweise »die schlimmsten Aufzeichnungen in der Geschichte der Mathematik«, wie Buckmaster in seinem begleitenden Statement betont. Doch sie konnten ihr Vorhaben nicht beenden.

Am 8. September 2026 veröffentlichten sie schlagartig ihre Arbeiten. Das sei verfrüht gewesen, schreibt Buckmaster: »Ich bin mit der Darstellungsqualität in diesen Beiträgen nicht zufrieden. Im Idealfall hätten wir lieber mehrere Wochen damit verbracht, die vom Sprachmodell generierten Beweise so umzuformulieren, dass sie schon ab der ersten Seite lesbar sind.«

Dies sei allerdings nicht möglich gewesen. »Es ist ein Deep-Blue-Kasparow-Moment«, erklärt Buckmaster in seinem Statement, in Anspielung auf die historischen Partien zwischen Schachcomputer und Schachweltmeister im Jahr 1996. »Aber anstatt über diese unglaublich wichtigen Entwicklungen zu schreiben, schreibe ich nun doch über etwas anderes.« Im Folgenden schildert er, wie ihn ein Streit mit der Tech-Firma OpenAI dazu gezwungen hätte, seine Ergebnisse schon jetzt zu veröffentlichen.

Wer löst das Millennium-Problem zuerst?

Anfang September 2026 brodelte die Gerüchteküche auf Social Media: Demnach sollte ein KI-Modell von Anthropic eine Lösung des Navier-Stokes-Problems gefunden haben. Einige mutmaßten, dass das Unternehmen den Beweis bis kurz vor dem geplanten Börsengang unter Verschluss halten würde. Buckmaster und Alpöge befürchteten, das Gerücht beziehe sich auf ihre Bemühungen – schließlich arbeitet Alpöge bei Anthropic, auch wenn er das Navier-Stokes-Projekt in seiner Freizeit und unabhängig von der Firma verfolgte.

Buckmaster beschloss daher nach eigenen Angaben, proaktiv eine der Quellen dieser Gerüchte aufzusuchen: einen Mitarbeiter von OpenAI. Buckmaster konfrontierte ihn mit dem Gerücht und berichtete ihm von seinen und Alpöges Bemühungen. Wenige Tage später sei er gebeten worden, wenn möglich sofort zu sprechen. Mit dabei war auch der Informatiker Sebastien Bubeck von OpenAI. Denn auch OpenAI hatte inzwischen eigene Bemühungen in dem Bereich aufgenommen.

»Wir begannen, uns mit den Millennium-Problemen zu beschäftigen, nachdem auf Twitter Gerüchte die Runde gemacht hatten, dass Anthropic zwei Millennium-Probleme gelöst habe«, schrieb Bubeck auf X. »Unser Ziel war es, herauszufinden, ob auch unser System zu dieser beeindruckenden Leistung fähig war – insbesondere angesichts unserer Begeisterung über die jüngsten erheblichen Leistungssteigerungen unseres internen Modells.«

OpenAI war offenbar erfolgreich. Einem Team aus Fachleuten gelang es, nur innerhalb weniger Tage, einen Beweis für eine Explosion der Navier-Stokes-Gleichungen zu erbringen. Das ist die Lösung des Millennium-Problems. Bubeck und seine Kollegen teilten das Buckmaster am 6. September 2026 mit. Als sie über die Details sprachen, wurde Buckmaster jedoch hellhörig.

»Es ist der Weg, den Luis und Diego erschlossen hatten und den Levent (Alpöge) und ich stillschweigend ausgewählt hatten, um das Problem in Angriff zu nehmen. Nach meinem Kenntnisstand hat fast niemand sonst daran gearbeitet. Es ist nicht die Herangehensweise, zu der man innerhalb weniger Tage gelangt, wenn man einem Modell die Aufgabenstellung vorgibt. Das war für mich ein deutliches Warnsignal«, schreibt Buckmaster. Sprich: Alpöge und Buckmaster waren verwundert, dass das Team von OpenAI exakt denselben exotischen Ansatz wie sie selbst genutzt hatte, um Navier-Stokes anzugehen.

Buckmaster habe mehrmals nachgefragt, ob OpenAI Zugriff auf die Sitzungen der Sprachmodelle habe, in denen er und Alpöge die Entwürfe und Details ihres Projekts eingegeben hatten. OpenAI verneinte dies. Doch die Firma gab offenbar keine Auskunft darüber, ob die Sprachmodelle diese Eingaben zu Trainingszwecken nutzten.

»Wenn du nicht willst, dass ich nett bin, dann muss ich auch nicht nett sein«OpenAI-Mitarbeiter, angeblich

Dann nahmen die Ereignisse laut Buckmaster eine unangenehme Wendung: Bubeck habe ihm zwei Vorschläge unterbreitet: Entweder sollten er und Alpöge ihr vorläufiges Ergebnis veröffentlichen und OpenAI am nächsten Tag das weiter reichende Navier-Stokes-Resultat. Oder Buckmaster sollte allein einen Artikel verfassen, in dem er das vermeintlich vollständige Navier-Stokes-Ergebnis vorstellt – und dabei anerkennt, dass ein internes OpenAI-Modell es gelöst hat. Bubeck wolle es vermeiden, dass Alpöge als Co-Autor auftaucht, da dieser »leider« bei OpenAIs größter Konkurrenz, Anthropic, arbeite.

Buckmaster hat beide Angebote abgelehnt – und OpenAI gedroht, an die Öffentlichkeit zu gehen. Als Antwort soll er folgende Aussage von Bubeck erhalten haben: »Wenn du nicht willst, dass ich nett bin, dann muss ich auch nicht nett sein.«

»Tristan ist ein Mathematiker durch und durch«, schrieb Alpöge auf X. »Während der angespannten Telefonate und Verhandlungen (mit OpenAI) blieb er seinen Prinzipien standhaft treu und lehnte sofort einen Karrieretraum und einen Millionenpreis für mich ab – mich, diesen seltsamen, aufgeregten, unklaren, quasi-nützlichen, verwirrten Idioten in unserer Zusammenarbeit. 15 Minuten später hatte er die Füße auf den Schreibtisch gelegt, wobei aus seinen zerrissenen Socken jeweils drei Zehen pro Fuß herausragten.«

Bubeck dementierte diese Schilderungen auf X: »Ich habe niemals darum gebeten, dass Levent als Autor seines eigenen Werks gestrichen wird. Eine Möglichkeit, die wir erörtert haben, war, dass Tristan als Hauptautor an einer Überarbeitung des Navier-Stokes-Beweises von OpenAI mitwirken könnte. In diesem Zusammenhang habe ich gesagt: ›Es wäre einfacher, wenn Levent kein Mitarbeiter von Anthropic wäre‹, da ich es für unangemessen hielt, dass ein Mitarbeiter von Anthropic die Arbeit von OpenAI verfasst.«

In einer Pressekonferenz, die am 8. September stattfand, wies Bubeck zudem zurück, dass OpenAI den Lösungsansatz von Buckmaster und Alpöge kopiert habe. Das interne Modell von OpenAI habe demnach die vereinfachte Version des Problems, die die Euler-Gleichungen betreffen, eigenständig gelöst, und zwar mit völlig anderen Methoden als Buckmaster und Alpöge. Allerdings folgt OpenAIs Lösung für das vollständige Navier-Stokes-Problem einer ähnlichen Methode wie die der beiden Mathematiker. Zudem wurde der Beweis laut Bubeck über das Wochenende des 6. Septembers 2026 entwickelt – also nachdem OpenAI die Nachricht von Buckmasters und Alpöges Ergebnis erreicht hatte.

Der X-Kanal von OpenAI schrieb dazu am 8. September 2026: »Wir hatten in keiner Weise Einblick in ihre (Buckmasters und Alpöges) Arbeit, bis sie diese öffentlich zugänglich machten – insbesondere wurden zur Lösung dieses Problems keine konkreten Nutzerdaten herangezogen. Auch wenn dies unwahrscheinlich ist, können wir jedoch nicht ausschließen, dass anonymisierte Daten, die aus der Nutzung unserer Produkte durch sie stammen, zur Verbesserung unserer Modelle beigetragen haben.« Das Unternehmen räumt damit ein, dass ihr KI-Modell möglicherweise die Eingaben der beiden Mathematiker zu Trainingszwecken verarbeitet hat.

Den Beweis von OpenAI hatte Buckmaster vor der Publikation am Abend des 8. Septembers nicht gesehen. Nun, da dieser veröffentlicht ist, können Fachleute die genutzten mathematischen Techniken im Detail untersuchen. »Die eigentliche Lösung dieser Probleme ist lediglich ein Zwischenziel auf dem Weg zum Hauptziel, nämlich der Entwicklung mathematischen Verständnisses und mathematischer Einsicht«, schreibt der Mathematiker und Fields-Medaillist Terence Tao dazu in seinem Blog. »Ohne ein solches Verständnis wäre selbst ein so berühmt-berüchtigtes Problem wie das Navier-Stokes-Problem von weitaus geringerer innerer Bedeutung für die Mathematik, als es in den populären Medien manchmal dargestellt wird.«

Auch Buckmaster hofft, dass die Mathematik bald wieder im Fokus steht, wie er in seinem Statement beschreibt: »Ich würde viel lieber über Mathematik sprechen, über die Ideen von Luis und Diego und darüber, was das für uns alle bedeutet.«